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常用的收敛级数整理

发布日期:2022-08-08 02:18 作者: 点击:

f8941aaca5ad4fba6e62be008462153e.png ❤️总结❤️

泰勒级数是数学中极其强大的数学近似工具,利用泰勒级数可以在某点用多项式来近似函数,使得多项式的表达比函数的形式更加友好。

泰勒多项式/级数的思想是将函数在某一点的值,利用函数的高阶导数的信息来近似泰勒多项式中的每一项都有明确的含义,可以通过图像的函数来找到其对应的含义泰勒级数在一定的取值范围内收敛,收敛的这个范围称为“收敛半径”。与此同时,超过这个取值范围函数值不收敛,我们称其为发散。 ✿✿ヽ(°▽°)ノ✿正文✿✿ヽ(°▽°)ノ✿

主要包含以下三部分的内容

10.1 利用导数信息来构建多项式函数

10.2用几何的方式来解释泰勒展开式的第二项

10.3能不能将多项式累加到无限多项

接下来就是正文了~~

10.1 利用导数信息来构建多项式函数

我们看一下

equation?tex=%5Ccos+x 是如何近似的?假设我们想用二次函数来表达 equation?tex=P%28x%29%3Dc_0%2Bc_1x%2Bc_2x%5E2 ,那么如何选择合适的 equation?tex=c_0%2Cc_1%2Cc_2 才能使得多项式函数差不多与 equation?tex=%5Ccos+x 的图像重合。

7bc1bf84b09ef68d5e743950d91e9a47.pngequation?tex=x%3D0 处的函数值相等,进而推导出 equation?tex=c_0%3D1 ②在 equation?tex=x%3D0 处的 equation?tex=P%28x%29 切线的斜率也能与 equation?tex=%5Ccos+x 处的导数相等,否则在 equation?tex=x%3D0 很近的地方就会有很明显的偏差. 进而推导出 equation?tex=c_1%3D0 equation?tex=%5Ccos+xequation?tex=x%3D0 是向下弯曲的,因此 equation?tex=%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ccos+x+%7D%7Bdx%5E2%7D%7C_%7Bx%3D0%7D%3C0 .利用弯曲度, 让二阶导也相等,是想让两者函数图像在此时拥有相同的弯曲度,这样能够更好的逼近函数图像。

aa758f32d0da71cff262421074a37ae9.png cosx的最佳二次逼近

因此可以得到

equation?tex=%5Ccos+xequation?tex=x%3D0 处的最佳二次逼近,同样可以验证它是 equation?tex=%5Ccos+xequation?tex=x%3D0 处的最佳三次逼近。

物理中,如果我们求单摆距离最低点的高度

equation?tex=R%281-+%5Ccos+%5Ctheta%29 ,这样就很难看出单摆与其他振动现象之间的关系,但是如果我们采用 equation?tex=%5Ccos+%5Ctheta+%5Capprox+1-%5Cfrac%7B%5Ctheta%5E2%7D%7B2%7D ,就使得它与真实的 equation?tex=%5Ccos+%5Ctheta 相差不多,与此同时问题也变得简单了许多。

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我们将其拓展到任意函数

equation?tex=f%28x%29 的泰勒多项式: 阶乘在求高阶导数的时候是自然出现的! 如果想使得更加逼近真实值,我们可以添加高次多项式,与此同时,这不影响低次项多项式任意 equation?tex=n 阶导数在 equation?tex=x%3D0 处的值,都是由一个唯一的系数决定的,也即表达式是唯一的

0698889de8d2e6844b6b377e25acf2ff.png 任意函数的泰勒多项式( 项数越多,近似就越精确,但代价就是多项式变得越来越复杂。

cd91e237e5b7305d0f2948bf876b3ac5.png 非零点的函数近似值: 如果想估计一个非零点处的值,如 equation?tex=x%3Da 处,这样换成 equation?tex=x-a 而不是 equation?tex=x 的多项式就可以得到相同的效果。这对于任意一点都是通用的。

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总结一下就是,在某一点时,函数高阶导数值的信息来近似这一点函数附近值的信息。 也就是知道了函数所有的高阶导数,其实就了解了它的很多信息,同时可以写出对应的近似多项式。

1941236c760d39bed7fd1d39e57fab21.png 10.2用几何的方式来解释泰勒展开式的第二项

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函数图像与

equation?tex=x 轴、 equation?tex=x%3Da 所围成的面积记作 equation?tex=f_%7Barea%7D , 那么函数图像应该为 equation?tex=%5Cfrac%7Bdf_%7Barea%7D%7D%7Bdx%7D%28x%29 .那么在 equation?tex=x%3Da 处取增量变成了 equation?tex=x,那么要想精确的表达增加的面积,不仅仅包括长方形,也包括三角形的面积。

三角形的面积=

equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%28x-a%29%5Ccdot+h, equation?tex=h =斜率 equation?tex=%5Ccdot+%28x-a%29 ,而在 equation?tex=a 的点斜率是面积函数 equation?tex=f_%7Barea%7Dequation?tex=a 点的二阶导数。

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因此可得:

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这样就与泰勒展开式的二次项一模一样的了。且表达式里边的每一项都有明确的含义,在图中都能找到对应的部分。

假设已经已知了面积函数在

equation?tex=x%3Da 处的各阶导数性质,就可以近似表达 equation?tex=x 处的面积 10.3能不能将多项式累加到无限多项

有限多项相加用来逼近函数的式子叫做泰勒多项式,累加无限项,我们称之为泰勒级数

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级数收敛:如果一个级数累加越多,它的和就越接近某一个确定的数值,这时候我们就说级数收敛 到那个值。也就是累加无限多项的和,即这个级数等于它收敛到的值,

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发散: 即累计无穷多项,加和不能够收敛到某个确定的值,而是变来变去,我们就称之为发散

我们把用来近似原始函数的那个点周围能够让多项式的和收敛的最大范围称为收敛半径

6d4deb2eda947b10abfe50d1d55cbc1e.png 图片及内容整理自: https://www.bilibili.com/video/BV1Gx411Y7cz​www.bilibili.com

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关键词:常用收敛发散函数